最近有一个小游戏“羊了个羊”，突然爆火。它的游戏规则很简单：把堆积在一起的牌从上到下点到临时卡牌槽里，凑齐一样的三张就能消掉，如果全部卡牌都消掉游戏就通关了。临时卡槽一共有7个位置，如果位置都满了，游戏就输了。
羊了个羊
这个游戏第一关非常简单，就像1+1=2一样。第二关难度飙升，直接变成考研。尽管通过分享游戏或者看广告可以有一些辅助道具，但是还是有许多人玩了上百局都没有通关。
有小朋友就问我说：为什么这个游戏这么难玩？它通关的概率到底有多大呢？经过我三四天的研究，今天我就把我的研究成果向大家汇报一下。
一. 游戏的设计逻辑
在网上有一个大神，把游戏的源代码找到了。
b站@码农高天
通过分析源代码，我们可以发现这个游戏的设计大约可以分为三个步骤。
首先：在桌面上设计一些卡的位置。
如果卡牌一共有15种，每一种有18张，那么应该设计15x18=270个卡位。每一卡位都有一组坐标（xi，yi，zi），其中xi和yi表示在桌面上的位置，zi表示堆叠的层数， 角标i从1到270。
其次：对卡牌进行洗牌。
设计15种不同的卡牌，每种卡牌18张，调用“乱序”函数，随机打乱270张卡的顺序。
最后：按顺序把每一张卡放进对应的卡位里。
因为“卡位”和“牌”都已经有了顺序，只要把序号相同的牌放在相应的卡位上，就完成游戏的初始化。
游戏初始化完成后
在这个过程中，“设计卡位”的步骤是人工完成的，程序员人为的设定好每一个卡的位置，并且每一天更换一次。所以，你会发现卡的排列非常对称，而且在每一天中固定不变，这就是“每日一关”的含义。
而“洗牌”的过程是程序随机完成的，所以如果你在一天中打很多局，卡牌的位置不会变，但是每个位置上的卡牌种类是变化的。
通过分析程序设计逻辑，我们会发现：游戏设计者并没有人为的设置障碍，让玩家无法通关。但是因为它的“随机洗牌“，造成许多关卡本身就是无解的。
而且，游戏能够通关的概率有多大，和程序员人工设计卡位的方式很有关系。可以想象：如果程序员把所有的卡平铺在桌面上，那程序100%是有解的。但是如果把所有卡摞成一列，那有解的可能性就微乎其微了。
这种局面有解的可能性不大
二. 对残局的数学分析
我们不妨来分析一个残局，看看游戏有解的概率大约有多少。
假设在某一天的游戏中，游戏设计师设计的卡位，最底部的五层是这样的：
最底层有一张牌：
在倒数第二层有4张牌：
在上面又压了4张牌
在上面又压了4张牌
最上面又压了1张牌：
也就是：从最下方到最上方，是1-4-4-4-1的结构，一共有14张牌。
如果这个结构位于整个牌堆的最底部，根据解锁的原则，只有点开最上层的1张牌，才能解锁其他牌，所以要想通关，必须会在某个时刻面对这个残局。
那么，面对这样的局面，通关概率大概有多大呢？
我们来计算一下这种牌局通关的必要条件：
假设在桌面上的最后14张牌，种类一共有N种。显然，N最小是1（所有卡牌都是同一种类的），最大是14（所有卡牌都是不同的）。可以想象：如所有的卡都是同一种，一定能够通关；如果有14种，那一定无法通关。那么，要想通关，这14张卡的种类N最多是几呢？
“羊了个羊”是一个三消游戏，要想把N个种类的牌完全消除，牌的个数至少是3N张。也就是：如果残局里每一种牌都是3张，一共3N张，就有可能完全消掉。
*如果某种牌有6张，那总的牌数就需要是3N+3张，才有可能完全消除。
可是，刚刚还说桌面上只有14张牌，现在又说有3N张，这不是矛盾吗？
别忘了：临时卡槽还有一些位置。如果刚好能够通关，3N张卡中有14张在桌面上，余下的3N-14张就应该在临时卡槽里。
还有，临时卡槽一共只有7个位置，而且装满了牌游戏就结束了，所以临时卡槽里的储存的牌最多只有6张。
这样，我们就得到了一个核心不等式：
3N-14≤6
这表示：残局中如果有N种牌，那么要想通关，牌的数量至少是3N张，其中有14张在桌面上，余下的牌在临时卡槽里，而且最多有6张。
解上述不等式，同时注意N是一个整数，得到
N≤6
即：如果牌局的最底层14张牌如我假设排列，那么牌局有解的必要条件是最后14张牌的种类小于等于6种。
必须注意：即使满足这个条件，牌局依然不一定有解。但是不满足这个条件，牌局一定是无解的。
*在我讲到这个问题时，很多朋友说我做错了，因为一共270张牌一定是3个一组消去的，所以最后不可能剩余不成组的14张牌。其实，这种说法是没有理解我的设计意图。因为程序员的随机乱序，最后14张牌是什么都有可能。但是，如果最后14张牌的种类数多余6种，那么就必然无法通过消去达到这个残局，也就是无解的。如果要有解，首先要达到这个残局，那就必须满足N≤6的条件。
三. 蒙特卡罗方法
一共15种牌，每种18张，随机排列在270个位置上，在最后14个位置上牌的种类数小于6种，概率有多大呢？显然这不是一个好算的数学问题。
不过幸好，我们有了计算机，可以通过蒙特卡罗方法得到问题的估计值。即让计算机随机尝试10000次，看看有多少次满足条件，就能估算这个概率了。
具体的模拟方法是这样的：
模拟程序代码如下：
通过实验，我发现在10000次统计中，底层14张牌的种类小于等于6种的次数大约在40在70次之间。我又把以上的程序循环执行了1000次，得到了在一万局中，“可能有解”的局数的分布关系如下：
1000次、10000局中“可能有解”的局数统计分布
你会发现：在一万局中，可能有解的局数大约成正态分布，期望数53，标准差7，也就是我们得出了以下结论：
如果游戏最底部的五层如我的设计，那么游戏有解的概率上限平均值为0.5%。我们有95%的把握说：游戏有解的概率上限不超过0.7%。
也就是说，玩1000把，最多也就只有5到7局是“有可能有解”的。实际上，我还只是考虑了14张牌的一个残局，真实的游戏牌局比我设计的更坑，有解的概率很有可能再低10到100倍，即0.1%甚至0.01%！
游戏之所以不能通关，不是我们的智商问题，而是因为程序员偷懒做了个大随机，造成关卡本身无解。
四. 如何改进程序
如果我设计这个游戏，肯定不会允许无解的情况发生。我会按照这样的思路设计游戏：
第一步：设计卡位顺序：
1. 人为设定270个卡位。
*在没有放卡之前，这些卡位都是空的。
2. 按照“从上到下“的解锁条件，随机生成一条解锁路径。
*因为同一层卡牌有很多张，解锁的路径也非常多。我们在这非常多的路径中，让程序随机寻找一条符合规定的路径即可。
3. 把解锁路径倒过来，作为卡位的顺序。
第二步：设计卡牌顺序
15种卡牌，每种6组，每组3张，按照同组三张在一起的原则，进行组间乱序排列。
*和原来程序的区别在于：在我们的设计中，乱序后的卡牌依然是三张一样的牌连在一起的。
第三步：将所有卡牌按序放回桌面的对应卡位上
反复随机执行下列操作之一：
1. 取出卡牌序列中一组牌，2张放在临时卡槽中，另1张按序放在桌面卡位上。
2. 将临时卡槽中随机的一张牌按序放到桌面卡位上。
*其实，这两个步骤就是把消除卡片的顺序倒过来。注意，在临时卡槽空的时候只能做第一步，临时卡槽的牌超过4张时只能做第二个步骤，而且做第一步骤时要保证卡槽内不能已经有相同的牌。
这样，我设计了一条消除路径（第一步），又按照消除的规则把卡牌一个个倒着放回到路径上（第二步和第三步），所以最终一定是有解的，而且，这也并不会降低游戏的可玩性。怎么样，我这个游戏设计师还不错吧！
据说这两天“羊了个羊”因为铺天盖地的批评，已经把游戏难度调低了。我看它采用的方法貌似是增加某几种牌的比例，减少另外几种牌的比例。可是这样做就大大降低了游戏性。
我依然建议他们，用我的方法修改一下游戏。
